接上一篇《你知道吗？有理数可数，而实数则不可数！》，我们继续介绍一些无穷数集的性质。

在数学中，从有限集到无穷集，很多性质会发生变化。譬如两集合的大小：

•  如果集合A和B都是有限集合，而且B是A的真子集，那么B一定比A小。

•  A为整数集，B为偶数集， 则B为A的真子集，但是，在集合论里，A和B一样大。

那么，除了集合的大小，还有别的例子表现出有限集和无穷集之区别吗？此文讨论有限数列和无穷数列的排序问题。

在计算机科学与数学中，一个排序算法（Sorting algorithm）是一种能将一串资料依照特定排序方式排列的算法。最常用到的排序方式是数值顺序以及字典顺序。有效的排序算法在一些算法（例如搜索算法与合并算法）中是重要的，如此这些算法才能得到正确解答。排序算法也用在处理文字资料以及产生人类可读的输出结果。基本上，排序算法的输出必须遵守下列两个原则：

• 输出结果为递增序列（递增是针对所需的排序顺序而言） 。

• 输出结果是原输入的一种排列、或是重组。

虽然排序算法是一个简单的问题，但是从计算机科学发展以来，在此问题上已经有大量的研究。举例而言，冒泡排序在1956年就已经被研究。虽然大部分人认为这是一个已经被解决的问题，有用的新算法仍在不断的被发明。

以上所述可抽象为有限数列(b_1，b_2，…，b_n)的排序问题：

•  寻找数列（1，2，…，n） 的一个重组（i₁，i₂，…，i_n ），使得(b_i₁ ，b_i₂，…，b_i_n) 为递增序列。

这个问题是否可以推广至无穷数列(b_1，b_2，…，b_n， …)的排序呢？

•  寻找数列（1，2，…，n， …)  的一个重组（i₁ ，i₂，…，i_n， …)，使得 (b_i₁ ，b_i₂，…，b_i_n ， …）为递增序列。

这个问题不成立，不是所有的无穷数列都可以排序的。

例子 1: 以下数列不可排序：

• （1，0.1，0.01，… ，1/10_n-1，                       …）；

• （-1，-2，…，-n，…）；

• （4，5，1，2，-5，-6，… ，-n，…）；

• （1，2，1，4，1，6，… ，1，n，…）；

例子 2: 以下数列可排序：

•（1/2，2/3，3/4，…，n/(n+1)，…）

•（3，4，5，…，n+2，…）

•（8，9，3，1，5，6，19，1，2，…，n-7，…）

那么，问题来了，究竟什么无穷数列可以排序，什么不可以呢？我有个判断猜想。

无穷数列排序判断猜想： 一个无穷数列S=(b₁ ，b₂，…，b_n， …)可排序的充分和必要条件是S可分裂成（split） 一个有限数列的无穷序列，即S=(A₁，A₂，…，A_k，…)，其中 Aj (j=1，2，…)是有限 数列，并且j<k ==》A_j≤A_k。

• 充分条件很容易证明。

• 必要条件待证或待举反例，希望有人填个空。

总结一下：

• 有限数列必可以排序；

• 无穷数列不一定可以排序：有些可以，有些不可以；

• 无穷数列排序判断猜想。

华盾信卫之数学篇