古希腊有三个流传数千年而未能解决的几何问题：

• 化圆为方：求一个正方形的边长，使其面积与一已知圆的相等。

• 两倍立方体：求一立方体的棱长，使其体积是一已知立方体的二倍。

• 任意角的三等分：能否仅用尺规作图法将任意角度三等分？

这些问题都跟尺规作图有关。尺规作图是起源于古希腊的数学课题，即只使用圆规和直尺，且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。

在19世纪的时候，由于近代数学的发展，它们陆续被证明是不可能的：

• 化圆为方：我们知道单位圆的面积是π，那么问题归结为求解x^2-π=0，但是数学家林德曼在1882年证明了π为超越数，因此也证实该问题仅用尺规是无法完成的。

• 两倍立方体：该问题归结为求解x^3-2=0,但是法国数学家皮埃尔·汪策尔在1873年利用伽罗瓦理论证明x^3-2=0在整数上是不可约的，因此也证实该问题仅用尺规是无法完成的。

• 任意角的三等分：还是法国数学家皮埃尔·汪策尔，他利用伽罗瓦理论证明，这个问题的答案是否定的：不存在仅用尺规作图法将任意角度三等分的通法。证明过程有点复杂。

备注：

• 在数论中，超越数是指任何一个不是代数数的无理数。只要它不是任何一个有理系数代数方程的根，它即是超越数。最著名的例子是自然对数底e以及圆周率π。几乎所有的实数和复数都是超越数，这是因为代数数的集合是可数集，而实数和复数的集合是不可数集之故。

• 埃瓦里斯特·伽罗瓦（1811年10月25日—1832年5月31日），法国数学家。在他还只有十几岁的时候，他就发现了n次多项式可以用根式解的充要条件，解决了长期困扰数学界的问题。他的工作为伽罗瓦理论（一个抽象代数的主要分支）以及伽罗瓦连接领域的研究奠定了基石。他是第一个使用“群”这一个数学术语来表示一组置换的人，与尼尔斯·阿贝尔并称为现代群论的创始人。

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