美是什么?美是愉悦心扉的动人旋律，美是意境风雅的隽永诗歌，美是倾心倾情的丹青水墨，美是自然和谐的山山水水。而心灵沉醉的情爱体验乃是美的最高境界。虽然美的对象不同，但有共同之处，即主观对美的体验就是愉悦，舒服。

在我们的印象里，很少有人会说物理学之美，化学之美，生物学之美，哲学之美，经济学之美，但是，很多人会毫不犹豫地赞颂数学之美。那么，数学之美究竟是什么？先看看数学先贤们是如何评价数学之美的。

以文笔优美著称的数学大师罗素对数学之美有非常独到的理解:“数学，正确以观之，不仅拥有真理，而且俱备至上之美。此种美，似雕塑般冷峻，不屑于迎合我们孱弱本性的任何部分，虽没有绘画或音乐之华丽，却是纯洁之至，可臻完美之境界，似乎只有最崇高之艺术才足以展现。恰如诗歌，在数学里，我们也可以找到真正愉悦之精神，境界之提升，超乎人类之感觉---这感觉正是检验其是否超群卓越的试金石”

菲尔茨奖的获得者，著名数学家埃尔德什认为数学之美是一种个人体验，只可意会不可言传：“为什么数学如此之美呢？这就像是在问为什么贝多芬第九号交响曲如此美丽。若如你不知道为什么，别人也无法告诉你。我知道数学是美的，若她不美的话，世上也就没有东西是美的了。”

史上最伟大的数学家之一，法国数学大师庞加莱这样说：“数学之美乃数字与形式的和谐，几何优雅的感觉。这是所有真正的数学家都知道的一种真正的审美感觉，绝对属于敏感的情感。”作为特别享受数学研究，难以自拔的我，个人的体验是数学有七美。数学之美乃是简洁之美，深奥之美，图形之美，抽象之美，统一之美，对称之美，体验之美。

人们常常形容一些独特的证明方法为“优雅”。这是什么意思呢？基于自己的经验和别人的分享，这里可能是指简洁的证明，或者是用奇异的方式推导出结果，也可能是指崭新且原创性的方法。为了寻找优雅的证明，数学家常会尝试不同的证明方法。目前拥有最多证明方法的定理是勾股定理，已经有三百多个证明，真是变态。另一个例子是二次互反律的定理，仅高斯一人提供了八个证明。我的博士论文有个重要定理，其证明很长，大概有8页之多，内心一直纠结，有“丑陋”之感。20年之后，我利用不动点定理巧妙地构建了一个很短的证明，一页纸不到，简洁明了，是为优雅。数学家追求的精神之一就是简洁，可以将复杂之事化繁为简，这是一种美感，此即数学的简洁之美。

何谓数学的深奥之美？数学家常常在两个看似毫不相关的数学领域之中，找到恰当的关联性并推导出新的结论。这种结论通常被形容为“深奥的”。行文至此，此时此刻，我的心中惦念着朗兰兹纲领，它是数学中一系列意义深远的构想，试图将数论、代数几何与约化群表示理论等几个本不相关的数学领域统一到一起，这就是“深奥的”。17年前，我在设计原地差分压缩算法时巧妙地运用了图论里的拓朴排序算法，大大提高数据压缩率，将图论和数据压缩这两个毫不相干的数学领域联接在一起，此为深奥。算法成功之时，我体验到了内在的美，心中高潮激荡，不能自己。“深奥的”最著名例子应该是欧拉恒等式e^iπ+1=0，它被费曼称为“数学内最著名的公式”。何意如此？这个极简的数学恒等式居然含有数学里最重要的五个常数:0，1，i，e和π。岂不深奥？此实为深奥之美。

数学的图形之美较为直观，是唯一能被普通人欣赏的美。常见于以黄金分割而设计的古典建筑里，也见于各种古典美术作品中。但是，最令人沉醉的当属造物主将数学运用于各类植物叶片和花朵的造型，天工之作，精妙之极。现代数学有一分支，叫分形几何，其研究的图形都由数学方程产生，图形美仑美幻，精伦美妙，由此便产生了一种新的艺术表现形式：分形艺术。

我们继续讨论其它四种数学之美：抽象之美，统一之美，对称之美，体验之美。何谓抽象之美？这个层次的美很难为一般人所体验。一个最接近的理解，当属艺术大师达·芬奇在《艺术专论》里表达的那样：“欣赏我作品的人，没有一个不是数学家”。他意指其作品的抽象性。数学的抽象性其实与音乐同框，两者的作品都是由抽象的符号表达，一个强于表达客观世界，一个善于表达丰富的主观世界和内心情感，虽然音乐的抽象常因旋律之优美而被大众的耳朵接受因此进入内心而得共鸣，但数学之抽象却被大部分人的脑袋抗拒从而内心难起漪潋。但是，抽象之美的最深刻内涵在于，数学是上帝的语言，用于制定宇宙的运行法则，这是普适性和抽象性的高度统一，正如开普勒所言：“对于外部世界进行研究的主要目的，在于发现上帝赋予它的合理秩序与和谐，而这些是上帝以数学语言透露给我们的”。我常常迷茫，若高维空间的文明愿意与我们对话，他们看地球文明大概跟人类看蚂蚁一般，人类的一切伟大创作对他们而言毫无意义，我们唯一可以拿去跟他们交流的只能是数学，这是多重宇宙间普适性的语言，是上帝的话语，不受空间维度的限制。此为我能够理解的抽象之美的最高层次。

数的概念从自然数、分数、负数、无理数，扩大到复数，经历了无数次坎坷，范围不断扩大，在数学及其他学科的作用也不断地增大。数的不断扩展是数学统一性的一种形式。数学统一性还常常表现在数学不同学科之间的统一，最早的例子当属笛卡尔用坐标系将几何和代数统一起来产生了解析几何，由于有了解析几何这个工具，牛顿才得以创立微积分，也开启了古典力学的伟大时代。数学的发展正是逐步统一的过程。统一的目的也正如希尔伯特所言：“追求更有力的工具和更简单的方法”。爱因斯坦一生的梦想就是追求宇宙统一的理论。他用简洁的表达式E=mc^2揭示了自然界中的质能关系，这不能不说是一件体现“统一之美”的艺术品。但他还是没有完成统一的梦想。人类在不断探寻着复杂的世界，又在不断地用统一的观点认识世界，宇宙没有尽头，统一美也需要永远的追求。我仰望星空，为其美所震撼，总是联想到数学所描述的那些简洁的宇宙法则，此种统一之美感常令我内心感动，无以言表。

数学的各个学科，其研究对象或者定理的结论和证明，常表现出一种美的特征：对称性。在古希腊时代，“对称”一词的含义是“和谐“和“美观”。毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形——圆心是它的对称中心，圆也是轴对称图形——任何一条直经都是它的对称轴。对称美的形式很多，对称的这种美也不只是数学家独自欣赏的，人们对于对称美的追求是自然的，朴素的。如我们喜爱的对数螺线，雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。在建筑和绘画等艺术作品，对称性常给我们带来美的无限体验和享受，在音乐中，也大抵如此。物理学家李政道和杨振宁也正是由对称的研究而发现了宇称不守恒定律，从中我们体会到了对称之美，和这种对称所透露出的宇宙之终极真理。近年来，我自己在研究蔵本模型的过程中，常利用对称性研究许多图拓朴结构上的蔵本方程，收获颇丰，经常为这些拓朴结构所得到的定理而感动：其内涵之深邃和证明之简洁。

到此，我们介绍了六种数学之美，即简洁之美，深奥之美，图形之美，抽象之美，统一之美和对称之美，其实都是体验之美的不同表现形式，感受数学之美，无疑以体验之美为最高形式。多年前，我曾记录了这么一段体验，以此来结束这篇文章吧：“数学是艺术，我没办法不同意。要是你结束了一个奇妙的证明，或者思如涌泉没法停止，一气呵成地建立了一个理论体系，无论大小，再去拜读莎士比亚那几首十四行烂诗，你会感觉诗如浮云。”  

华盾思维之数学篇