数学有一些非常有趣的概念:有限集合,无限集合,可数集,不可数集。
有限集合很容易理解。无限集合则是由无限个元素组成的集合,也称无穷集合或无限集。无限集合一般常见的例子有自然数集、整数集、有理数集、实数集等。
无限集合分为可数集和不可数集。
和自然数集N有一一对应关系的无限集合称之为可数集(譬如整数集、奇数集、偶数集、有理数集等。),否则便是不可数集,譬如实数。
很容易证明整数集、奇数集、偶数集等为可数集。
欲证明有理数可数需要先定义一个从有理数集映射至自然数集之笛卡尔积 NxN 的单射函数:
然后再证明NxN是可数的即可。
实数的不可数性可由康托尔于1891年提出的对角论证法加以证明。其实只要证明[0,1]是不可数就可以了。该证明是用反证法完成的,步骤如下:
1.假设区间[0,1]是可数无穷大的,已知此区间中的每个数字都能以小数形式表达。
2.我们把区间中所有的数字排成数列(这些数字不需按序排列;事实上,有些可数集,例如有理数也不能按照数字的大小把它们全数排序,但只是成数列就没有问题的)。对于那些有两种小数形式的数字,例如0.499...= 0.500...,我们选择前者。
3.如果该数列小数形式表示如下:
• r1 = 0.a11a12a13a14a15… .
• r2 = 0.a21a22a23a24a25… .
• r3 = 0.a31a32a33a34a35… .
• r4 = 0.a41a42a43a44a45… .
• r5 = 0.a51a52a53a54a55… .
• …
4.我们设一实数x∈[0,1], 其中 x 的第k个小数位为从{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中挑一个不是“rk的第k个小数”的数。
5.明显地x是一个在区间[0,1]内的实数。
6.由于x的特殊定义, x 和 rk 的第 k个小数不一样。这使得序列 (r1,r2,r3,r4,r5,…) 之中的所有 实数都跟x 不相等,也就是说x不在序列 (r1,r2,r3,r4,r5,…) 之中!
7.但(r1,r2,r3,r4,r5,…)包括了所有区间[0,1]内的实数,即应该存在一个rn 使得 x=rn ,这发生了矛盾!
8.证毕。
华盾信卫之数学篇